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<!DOCTYPE html>

<title>Hilbertraumbasis</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Hilbertraumbasis</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Als Hilbertraumbasis wird in der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> eine <a href="Basis_(Vektorraum)" title="Basis (Vektorraum)">Basis</a> eines <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbert-Raums</a> bezeichnet. Ein Hilbertraum ist ein (oft unendlichdimensionaler) <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a>, der mit einem <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> ausgestattet ist und mit der <a href="Skalarproduktnorm" title="Skalarproduktnorm">induzierten Norm</a> <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">vollständig</a> ist.

Der natürliche Basisbegriff eines Hilbertraums ist die Verallgemeinerung der <a href="Orthonormalbasis" title="Orthonormalbasis">Orthonormalbasis</a> der euklidischen Geometrie, das vollständige <a href="Orthonormalsystem" class="mw-redirect" title="Orthonormalsystem">Orthonormalsystem</a> bzw. die <a href="Hilbertbasis" class="mw-redirect" title="Hilbertbasis">Hilbertbasis</a>. Manchmal, z. B. in der <a href="Wavelet" title="Wavelet">Wavelettheorie</a>, arbeitet man mit Erzeugendensystemen eines Hilbertraumes, von denen die Orthogonalität nur schwer oder gar nicht nachzuweisen ist.

Dieser Artikel beschäftigt sich vornehmlich mit solchen Hilbertraumbasen, die keine Orthonormalsysteme, also keine Hilbertbasen sind.

Im endlichdimensionalen Fall ist die Alternative zu einer Orthonormalbasis eine allgemeine, nicht orthogonale Basis. Für jede Basis im Endlichdimensionalen fallen die zwei charakteristischen Eigenschaften zusammen: Eine Basis ist ein maximales linear unabhängiges System und gleichzeitig ein minimales Erzeugendensystem.

Im unendlichdimensionalen Fall ist das „stabile“ Abweichen vom Begriff der Hilbert-Basis nicht so einfach. Von Spezialfällen abgesehen, verlangt man von einer Basis jedoch, dass jeder Vektor des Hilbertraums eindeutig bestimmte Koordinaten besitzt, die sich stetig mit dem Vektor ändern, sowie dass jeder Vektor durch seine Koordinaten eineindeutig bestimmt wird, mehr noch, dass es zu jedem System zulässiger Koordinaten einen stetig von diesen Koordinaten abhängenden Vektor gibt. Mit anderen Worten, es soll eine bijektive, in beide Richtungen stetige lineare Abbildung des Hilbertraumes in einen Koordinatenraum geben.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Motivation_am_euklidischen_Fall">Motivation am euklidischen Fall</h2></div>

In einem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-<a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> ist eine Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/577f6986fdd993b814da338de6ceaad255600660.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.341ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}" loading="lazy"> insbesondere dadurch charakterisiert, dass zu ihr eine bijektive Abbildung zwischen dem Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und dem Modellvektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d63366b3d00300e06eee81786182062b98775c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.312ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle K^{n}}" loading="lazy"> erzeugt werden kann:

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\colon K^{n}\to V,\qquad {\text{mit}}\quad x=(x^{1},\dots ,x^{n})^{t}\mapsto E\cdot x=b_{1}x^{1}+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/658010b6825a53e35cac35d8866c8b7258caa3d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:76.563ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle E\colon K^{n}\to V,\qquad {\text{mit}}\quad x=(x^{1},\dots ,x^{n})^{t}\mapsto E\cdot x=b_{1}x^{1}+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}" loading="lazy">.

Diese Abbildung kodiert wiederum die Basis, denn die Bilder der kanonischen Basisvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/534941328b8b2dea29d9e5b99db807a8ef84849d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.599ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}" loading="lazy"> des Spaltenvektorraums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d63366b3d00300e06eee81786182062b98775c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.312ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle K^{n}}" loading="lazy"> sind gerade die gewählten Basisvektoren von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy">. Die inverse Abbildung zu dieser ordnet jedem Vektor aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> seinen Koordinatenvektor bzgl. dieser Basis zu.

In diesem Sinne kann man bijektive Abbildungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d63366b3d00300e06eee81786182062b98775c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.312ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle K^{n}}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> mit Basen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> identifizieren. Ist auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> eine <a href="Norm_(Mathematik)" title="Norm (Mathematik)">Norm</a> definiert, so folgt aus der Bijektivität, dass die Koordinaten von Einheitsvektoren weder sehr klein noch sehr groß werden können.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Systeme_von_Vektoren_und_ihre_Eigenschaften">Systeme von Vektoren und ihre Eigenschaften</h2></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {H}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.964ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}" loading="lazy"> ein Hilbertraum über dem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaa0cac96c9853f0cba61605679cf8963983b5d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.585ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a1a8ee77fce00b8ddbd288a297dccae8eab7f8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.585ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }" loading="lazy">. Sei weiter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\subset {\mathcal {H}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\subset {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cd580307efda43e1a9cc0ac97260cc01e40d446.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.042ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X\subset {\mathcal {H}}}" loading="lazy"> eine (endliche, abzählbare oder gar überabzählbare) Teilmenge des Hilbertraums. Um diese Teilmenge sprachlich von <a href="Untervektorraum" title="Untervektorraum">Untervektorräumen</a> zu unterscheiden, wird X System von Vektoren genannt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Koeffizientenraum">Koeffizientenraum</h3></div>

Zu jeder endlichen Anzahl von Vektoren aus X kann man ohne Einschränkung Linearkombinationen bilden. Die Koeffizienten einer solchen Linearkombination kann man in einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\colon X\to \mathbb {K} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\colon X\to \mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63fa65c4dbd4e2433e60af96bd25cc4493fd8228.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.443ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c\colon X\to \mathbb {K} }" loading="lazy"> zusammenfassen, die nur an endlich vielen Stellen von Null verschieden ist. Die Linearkombination hat dann die Gestalt

</mrow>

</munder>

<mtext> wobei </mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{x\in X}c(x)\;x,\quad {\text{ wobei }}\quad \#\{x:\;c(x)\neq 0\}<\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1c2d982bea947780417ecf95220cb4d24d8aa9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:44.599ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \sum _{x\in X}c(x)\;x,\quad {\text{ wobei }}\quad \#\{x:\;c(x)\neq 0\}<\infty }" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl></dd></dl>

Auf dem Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{\mathrm {fin} }(X)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{\mathrm {fin} }(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/159e28beacdff00d04774a554d232ac6ac09505d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.974ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{\mathrm {fin} }(X)}" loading="lazy"> dieser Funktionen mit endlichem Träger kann man ein Skalarprodukt definieren als

</mrow>

</munder>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle c,\,d\rangle =\sum _{x\in X}c(x){\overline {d(x)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0466896a94958795cc3bfd8a0305d0318c6c2f67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:20.991ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \langle c,\,d\rangle =\sum _{x\in X}c(x){\overline {d(x)}}}" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl></dd></dl>

Nur endlich viele Terme sind von Null verschieden, d. h. die Summe ist als solche definiert.

Jedes Skalarprodukt definiert auch eine Norm und damit eine Metrik. Sei mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}(X)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21cf0070a0d75cc0906a9a5d37e2f20b029b4adb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.813ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}(X)}" loading="lazy"> die Vervollständigung des Raumes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{fin}(X)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{fin}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/267386bb7f97428ecf518f069e9b2a1fc6c057dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.449ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{fin}(X)}" loading="lazy"> bzgl. dieser Topologie bezeichnet. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}(X)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21cf0070a0d75cc0906a9a5d37e2f20b029b4adb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.813ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}(X)}" loading="lazy"> soll im Folgenden als Koeffizienten- und später als Koordinatenraum dienen. Ist X endlich, so ist dieser Koeffizientenraum isomorph zu einem euklidischen Raum, für X abzählbar ist der Koeffizientenraum isometrisch isomorph zum <a href="Folgenraum" title="Folgenraum">Folgenraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ,\mathbb {K} )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ,\mathbb {K} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91936c9b1018e850c15e52bcb7d2de82894df1b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.353ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ,\mathbb {K} )}" loading="lazy">.

Der Einfachheit halber werden Elemente aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}(X)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21cf0070a0d75cc0906a9a5d37e2f20b029b4adb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.813ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}(X)}" loading="lazy"> als Koeffizientenvektoren bezeichnet, die Komponente von c zum „Index“ x ist der Wert c(x). Ein Koeffizientenvektor c heißt endlich, falls der Träger von c endlich ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Linearkombinationen">Linearkombinationen</h3></div>

Die einfachste Forderung ist nun, dass es zu jedem Koeffizientenvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b7cce4b3495f4a24922d0d46c12524ed64216d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.661ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}" loading="lazy"> auch eine Linearkombination des Systems X geben möge. Im Allgemeinen ist aber die „Summe“

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{x\in X}c(x)\;x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb3c497035140afe31cac3b1199a566207e2296e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:9.944ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \sum _{x\in X}c(x)\;x}" loading="lazy"></dd></dl>

nicht definiert. Für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}" loading="lazy"> gibt es aber Koeffizientenvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {c}}\in \ell ^{2}(X)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {c}}\in \ell ^{2}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1254fad09fe06482274ced1425232d2a97acf6d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.945ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {c}}\in \ell ^{2}(X)}" loading="lazy"> mit endlichem Träger und einem Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|c-{\tilde {c}}\|_{\ell ^{2}(X)}<\varepsilon }">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|c-{\tilde {c}}\|_{\ell ^{2}(X)}<\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d24ac60b8980cc8d5dad3969c094c6fd93ac805.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:16.075ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \|c-{\tilde {c}}\|_{\ell ^{2}(X)}<\varepsilon }" loading="lazy">, für welche diese Linearkombination definiert ist. Die Frage ist nun, wann diese endlichen Linearkombinationen einen gemeinsamen Grenzwert für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon \to 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon \to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0a6823c23666f99317e232cf7d02df6d9c9b7a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.86ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon \to 0}" loading="lazy"> haben.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Definition_(Besselsystem)">Definition (Besselsystem)</h4></div>

X heißt Besselsystem, falls die Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}\colon \ell ^{2}(X)\to {\mathcal {H}}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}\colon \ell ^{2}(X)\to {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0d1c1a4acde3cfa8b8661fe83685a38094ad303.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.736ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}\colon \ell ^{2}(X)\to {\mathcal {H}}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\mathcal {E}}(c)=\sum _{x\in X}c(x)\cdot x}">

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\mathcal {E}}(c)=\sum _{x\in X}c(x)\cdot x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c50e6e06519bc86be55ae1ebac461c2387318f48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.89ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\mathcal {E}}(c)=\sum _{x\in X}c(x)\cdot x}" loading="lazy"> stetig ist, d. h. falls es eine Konstante B gibt mit

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\sum _{x\in X}c(x)\,x\|_{\mathcal {H}}\leq {\sqrt {B}}\,\|c\|_{\ell ^{2}(X)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3fdee5024c465edd82987e4ccb2866fdca30bbdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:28.965ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \|\sum _{x\in X}c(x)\,x\|_{\mathcal {H}}\leq {\sqrt {B}}\,\|c\|_{\ell ^{2}(X)}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Bemerkung: Diese Ungleichung muss nur für endliche Koeffizientenfolgen bzw. -funktionen mit endlichem Träger erfüllt sein, um schon für alle Koeffizientenfolgen bzw. -funktionen zu gelten.

Unter diesen Umständen bilden die Bildvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bigl (}{\mathcal {E}}(c_{n}){\bigr )}_{n\in \mathbb {N} }}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bigl (}{\mathcal {E}}(c_{n}){\bigr )}_{n\in \mathbb {N} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d4f413250dd39fd01628d5ac16fb6fda6c3ec8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:10.977ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\bigl (}{\mathcal {E}}(c_{n}){\bigr )}_{n\in \mathbb {N} }}" loading="lazy"> einer Folge endlicher Approximationen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}\to c}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}\to c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d69373d5b6f4353138150bd2250e007d7f1bf179.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.846ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c_{n}\to c}" loading="lazy"> eines Koeffizientenvektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b7cce4b3495f4a24922d0d46c12524ed64216d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.661ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}" loading="lazy"> eine Cauchyfolge im Hilbertraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {H}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.964ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}" loading="lazy">. Diese Folge besitzt also einen Grenzwert, und dieser ist unabhängig von der gewählten approximierenden Folge.

Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}" loading="lazy"> ein <a href="Linearer_Operator" title="Linearer Operator">linearer Operator</a> zwischen zwei Hilberträumen ist, gibt es einen <a href="Adjungierter_Operator" title="Adjungierter Operator">adjungierten Operator</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}\colon {\mathcal {H}}\to \ell _{2}(X)}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}\colon {\mathcal {H}}\to \ell _{2}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61612b15361f061aeff53baa3563c79f3a0678db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.816ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}\colon {\mathcal {H}}\to \ell _{2}(X)}" loading="lazy">. Nach Definition eines adjungierten Operators bestimmt sich dieser zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}(v)\colon X\to \mathbb {K} \colon \;x\mapsto \langle x,v\rangle }">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}(v)\colon X\to \mathbb {K} \colon \;x\mapsto \langle x,v\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b27d644d96f16cef2ba0f463de29d205c86ebec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.687ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}(v)\colon X\to \mathbb {K} \colon \;x\mapsto \langle x,v\rangle }" loading="lazy">. Ist X ein Besselsystem, so erfüllt der adjungierte Operator eine <a href="Besselsche_Ungleichung" title="Besselsche Ungleichung">Besselsche Ungleichung</a>: Mit der Konstanten B>0 gilt für beliebige Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a115cc2960581b44717e40837c72a7da741a38d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.932ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}" loading="lazy"> die Ungleichung

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|{\mathcal {E}}^{*}(v)\|^{2}=\sum _{x\in X}|\langle x,v\rangle |^{2}\leq B\,\|v\|^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4450b94b57bbf26795773f06258c0228c071aeb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:33.034ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \|{\mathcal {E}}^{*}(v)\|^{2}=\sum _{x\in X}|\langle x,v\rangle |^{2}\leq B\,\|v\|^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl></dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lineare_Unabhängigkeit">Lineare Unabhängigkeit</h3></div>

In vielen Fällen ist die Definition nicht ausreichend, dass keine nichttriviale Linearkombination aus X der <a href="Nullvektor" title="Nullvektor">Nullvektor</a> ist. So kann es trotz dieser Eigenschaft der Fall sein, dass es beliebig kleine Linearkombinationen gibt, bei denen der Koeffizientenvektor die Länge 1 hat. Es ist also verschärfend zu fordern, dass X ein Besselsystem ist und es eine untere Schranke A>0 gibt, so dass

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|{\mathcal {E}}(c)\|_{\mathcal {H}}\geq {\sqrt {A}}\|c\|_{\ell ^{2}(X)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6468224bcec69fdc50fc27764bcdc605a67bf82a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:22.611ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \|{\mathcal {E}}(c)\|_{\mathcal {H}}\geq {\sqrt {A}}\|c\|_{\ell ^{2}(X)}}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle Koeffizientenvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b7cce4b3495f4a24922d0d46c12524ed64216d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.661ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}" loading="lazy"> gilt.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Definition_(Rieszsystem)">Definition (Rieszsystem)</h4></div>

Ein System X von Vektoren eines Hilbertraumes heißt Rieszsystem, falls es endliche Konstanten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<A<B<\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<A<B<\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31d1afbf03dfac1f19117dd4ecdd44f91ea1cae5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:16.289ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0<A<B<\infty }" loading="lazy"> gibt, so dass für endliche Koeffizientenvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b7cce4b3495f4a24922d0d46c12524ed64216d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.661ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}" loading="lazy"> und damit für alle Koeffizientenvektoren die Ungleichungen

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {A}}\|c\|_{\ell ^{2}(X)}\leq \|\sum _{x\in X}c(x)\,x\|_{\mathcal {H}}\leq {\sqrt {B}}\,\|c\|_{\ell ^{2}(X)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/537efdd9d9a2bd34a40c0b6359c4e8a4f3d7cce6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:43.503ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {A}}\|c\|_{\ell ^{2}(X)}\leq \|\sum _{x\in X}c(x)\,x\|_{\mathcal {H}}\leq {\sqrt {B}}\,\|c\|_{\ell ^{2}(X)}}" loading="lazy"></dd></dl>

erfüllt sind.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erzeugendensystem">Erzeugendensystem</h3></div>

Ein Erzeugendensystem X im Hilbertraum kann dadurch charakterisiert werden, dass das <a href="Orthogonales_Komplement" class="mw-redirect" title="Orthogonales Komplement">orthogonale Komplement</a> von X nur aus dem Nullvektor besteht. Ist X zusätzlich ein Besselsystem, so bilden die Skalarprodukte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle v,\,x\rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle v,\,x\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5046002a7b5b43029677c4fefd92d5c11fb6a8f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.688ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle v,\,x\rangle }" loading="lazy"> die Komponenten des Vektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}(v)}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22be7f5583940cb79f1a2c28062940e16f815dcc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.327ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}(v)}" loading="lazy">. D. h., jeder Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a115cc2960581b44717e40837c72a7da741a38d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.932ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}(v)=0}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}(v)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5848f31de8fe29a7ba57cdeae4097408c17bfdb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.588ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}(v)=0}" loading="lazy"> muss der Nullvektor sein.

Wieder ist diese Charakterisierung in vielen Fällen nicht ausreichend, da es möglich wäre, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}(v)}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22be7f5583940cb79f1a2c28062940e16f815dcc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.327ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}(v)}" loading="lazy"> auf der Einheitskugel beliebig kleine Werte annimmt. Um dies zu verhindern, fordert man die Existenz einer unteren Schranke A>0 für die Werte auf der Einheitskugel, es sei für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a115cc2960581b44717e40837c72a7da741a38d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.932ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|v\|_{\mathcal {H}}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|v\|_{\mathcal {H}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ecf26eb3418b4a4b0f6c9a3a5f69c5c9a51acfb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.334ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|v\|_{\mathcal {H}}=1}" loading="lazy"> die Ungleichung

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|{\mathcal {E}}^{*}(v)\|_{\ell ^{2}(X)}^{2}=\sum _{x\in X}|\langle v,\,x\rangle |^{2}\geq A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5c77fd6fdf773ce761e50ce55124bbc2b0ed140.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:31.881ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \|{\mathcal {E}}^{*}(v)\|_{\ell ^{2}(X)}^{2}=\sum _{x\in X}|\langle v,\,x\rangle |^{2}\geq A}" loading="lazy"></dd></dl>

erfüllt.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Definition_(Frame)">Definition (Frame)</h4></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Frame_(Hilbertraum)" title="Frame (Hilbertraum)">Frame (Hilbertraum)</a></div>

Ein System X von Vektoren in einem Hilbertraum heißt Frame (en. für Rahmen), falls es endliche Konstanten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<A<B<\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<A<B<\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31d1afbf03dfac1f19117dd4ecdd44f91ea1cae5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:16.289ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0<A<B<\infty }" loading="lazy">, die Framekonstanten, gibt, so dass für jeden Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a115cc2960581b44717e40837c72a7da741a38d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.932ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}" loading="lazy"> die Ungleichungen

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {A}}\|v\|_{\mathcal {H}}\leq \|{\mathcal {E}}^{*}(v)\|_{\ell ^{2}(X)}\leq {\sqrt {B}}\|v\|_{\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8759d431843e0dd9528f8784bb6bff628806492e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:35.804ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {A}}\|v\|_{\mathcal {H}}\leq \|{\mathcal {E}}^{*}(v)\|_{\ell ^{2}(X)}\leq {\sqrt {B}}\|v\|_{\mathcal {H}}}" loading="lazy"></dd></dl>

erfüllt sind.

Gilt sogar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/045cafe35b1e9c9ac889481fd7178d6f59a77fdb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.606ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A=B}" loading="lazy">, so wird X ein straffer Frame (engl. „tight frame“) genannt.

Insbesondere folgt aus dieser Eigenschaft die Existenz eines stetigen <a href="Pseudoinverse" title="Pseudoinverse">pseudoinversen</a> Operators (s. weiter unten).

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Definition_(Rieszbasis)">Definition (Rieszbasis)</h4></div>

Ein System X von Vektoren in einem Hilbertraum heißt Rieszbasis, falls es gleichzeitig ein Rieszsystem und ein Frame ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Folgerungen">Folgerungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Für_Rieszsysteme">Für Rieszsysteme</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Pseudoinverse_und_Bestapproximation">Pseudoinverse und Bestapproximation</h4></div>

Ein Rieszsystem X spannt einen abgeschlossenen Unterraum im Hilbertraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {H}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.964ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}" loading="lazy"> auf. Zu jedem beliebigen Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a115cc2960581b44717e40837c72a7da741a38d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.932ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}" loading="lazy"> gibt es eine Bestapproximation in diesem Unterraum, d. h. einen Koeffizientenvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b7cce4b3495f4a24922d0d46c12524ed64216d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.661ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle c\in \ell ^{2}(X)}" loading="lazy"> für welchen der Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|v-{\mathcal {E}}(c)\|_{\mathcal {H}}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|v-{\mathcal {E}}(c)\|_{\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afadce724c712ec7130dafa1bef32f4c9d1fc25c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.041ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|v-{\mathcal {E}}(c)\|_{\mathcal {H}}}" loading="lazy"> minimal wird. Dieser Koeffizientenvektor bestimmt sich zu

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c={\mathcal {E}}^{-}(v)=\left(({\mathcal {E}}^{*}\circ {\mathcal {E}})^{-1}\circ {\mathcal {E}}^{*}\right)(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d72f9379a381ec7d4e76d7be37d5f438906a5cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:33.065ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle c={\mathcal {E}}^{-}(v)=\left(({\mathcal {E}}^{*}\circ {\mathcal {E}})^{-1}\circ {\mathcal {E}}^{*}\right)(v)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Der in diesem Ausdruck vorkommende inverse Operator existiert, da das Komposit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}\circ {\mathcal {E}}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}\circ {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fcda6db308b0008b3522a83a1f23c1c5a709b63b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.896ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}\circ {\mathcal {E}}}" loading="lazy"> beschränkt, selbstadjungiert und positiv definit ist. Der inverse Operator kann als <a href="Neumann-Reihe" title="Neumann-Reihe">Neumann-Reihe</a> konstruiert werden, denn es gilt

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}\circ {\mathcal {E}}=C\,(I-T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04fd65ac66f0003bc59831984ef79899fdf89d76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.606ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}\circ {\mathcal {E}}=C\,(I-T)}" loading="lazy">, daher <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathcal {E}}^{*}\circ {\mathcal {E}})^{-1}={\frac {1}{C}}\left(I+T+\sum _{k=2}^{\infty }T^{k}\right)}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {E}}^{*}\circ {\mathcal {E}})^{-1}={\frac {1}{C}}\left(I+T+\sum _{k=2}^{\infty }T^{k}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a872256f6cd9bfa26a5e657fe78ec11f41ab6321.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:34.847ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {E}}^{*}\circ {\mathcal {E}})^{-1}={\frac {1}{C}}\left(I+T+\sum _{k=2}^{\infty }T^{k}\right)}" loading="lazy">,</dd></dl>

denn der Term

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=I-{\tfrac {1}{C}}\left({\mathcal {E}}^{*}\circ {\mathcal {E}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3cc0dc580858079c3da157b019b7404893af20c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:18.925ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle T=I-{\tfrac {1}{C}}\left({\mathcal {E}}^{*}\circ {\mathcal {E}}\right)}" loading="lazy">, mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C:={\frac {A+B}{2}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C:={\frac {A+B}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49296e7e98819d25d65ce878af1a9632cdfdad23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.695ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle C:={\frac {A+B}{2}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

hat eine <a href="Operatornorm" title="Operatornorm">Operatornorm</a> kleiner 1.

Der Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}:{\mathcal {H}}\to \ell ^{2}(X)}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}:{\mathcal {H}}\to \ell ^{2}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8a4035fedab2a4936bca1f1db391433369674ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.175ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}:{\mathcal {H}}\to \ell ^{2}(X)}" loading="lazy"> ist der pseudoinverse Operator zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}" loading="lazy">, es gelten die zwei Identitäten

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}\circ {\mathcal {E}}=id_{\ell ^{2}(X)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61d3f44cfd9e29f001aaad1b73febd1040c07967.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:15.892ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}\circ {\mathcal {E}}=id_{\ell ^{2}(X)}}" loading="lazy"> ist die Identität im Raum der Koeffizientenvektoren und</li>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{-}=pr_{im({\mathcal {E}})}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bdec491a7c47612584e44c02eac5efcc27a1a0cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:16.118ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{-}=pr_{im({\mathcal {E}})}}" loading="lazy"> ist der orthogonale Projektor auf das Bild <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle im({\mathcal {E}})\subset {\mathcal {H}}}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle im({\mathcal {E}})\subset {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98353aa9882e54a470d74648810e900b7e44cfb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.025ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle im({\mathcal {E}})\subset {\mathcal {H}}}" loading="lazy">.</li></ul></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Für_Frames">Für Frames</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Pseudoinverse">Pseudoinverse</h4></div>

Als Folge der Frameungleichung ist der Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}:\ell ^{2}(X)\to {\mathcal {H}}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}:\ell ^{2}(X)\to {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94c4247f1e66cc346cd46d352e0ea8487548fe27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.639ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}:\ell ^{2}(X)\to {\mathcal {H}}}" loading="lazy"> surjektiv. Denn das orthogonale Komplement des Bildes ist gerade der Kern von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}:{\mathcal {H}}\to \ell ^{2}(X)}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}:{\mathcal {H}}\to \ell ^{2}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e3426cfe96374794bc2fd1b0177404bbf3c776a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.719ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}:{\mathcal {H}}\to \ell ^{2}(X)}" loading="lazy">, und nach der linken Ungleichung hat jeder Vektor im Kern die Länge Null.

Analog zur Überlegung zum Rieszsystem ist nun der Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{*}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/543084afe93d2f5a0fe4c742e268238a06abe76e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.896ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{*}}" loading="lazy"> selbstadjungiert, beschränkt und positiv definit. Es gibt dessen inversen Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R=({\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{*})^{-1}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R=({\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{*})^{-1}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2da629c0e10f6113e85f5881df04ef775b31df9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.38ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle R=({\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{*})^{-1}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}" loading="lazy">, mit welchem wiederum der pseudoinverse Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}={\mathcal {E}}^{*}\circ R}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}={\mathcal {E}}^{*}\circ R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/090439064fad4eeccb5fdef8502d80c5005fea6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.295ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}={\mathcal {E}}^{*}\circ R}" loading="lazy"> gebildet werden kann. In diesem Fall gelten die Identitäten

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{-}=id_{\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78106ee621121d0e5ab2ece6eb852ecc73752523.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.084ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{-}=id_{\mathcal {H}}}" loading="lazy"> ist die Identität des Hilbertraumes und</li>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}\circ {\mathcal {E}}=pr_{im({\mathcal {E}}^{*})}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/147c78676d1365b2097839137210244d07a68e77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:16.968ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}\circ {\mathcal {E}}=pr_{im({\mathcal {E}}^{*})}}" loading="lazy"> ist die Projektion auf das Bild des adjungierten Operators, welches gleichzeitig das orthogonale Komplement des Kerns ist, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle im({\mathcal {E}}^{*})=ker({\mathcal {E}})^{\bot }}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle im({\mathcal {E}}^{*})=ker({\mathcal {E}})^{\bot }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93de82ea4d0eae262eb4fcfffb12efe8bc8d02e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.116ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle im({\mathcal {E}}^{*})=ker({\mathcal {E}})^{\bot }}" loading="lazy">.</li></ul></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Kleinster_Koeffizientenvektor">Kleinster Koeffizientenvektor</h4></div>

Mit einem Frame X kann jeder Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a115cc2960581b44717e40837c72a7da741a38d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.932ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}" loading="lazy"> als Linearkombination des Systems X dargestellt werden. Oft gibt es mehrere Koeffizientenvektoren, die diese Aufgabe erfüllen. Unter all diesen Koeffizientenvektoren ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}(v)}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c9f6f9ad8a0324008f8e24b6bfd6151d7b045e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.784ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}(v)}" loading="lazy"> der kleinste.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Dualer_Frame">Dualer Frame</h4></div>

Es gibt zu einem Frame X einen dualen Frame <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle RX=\{Rx:\;x\in X\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle RX=\{Rx:\;x\in X\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18c5acc5854947e33b30058e7dd4fc5603b8d8ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.994ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle RX=\{Rx:\;x\in X\}}" loading="lazy">, wobei R der oben definierte inverse Operator zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{*}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/543084afe93d2f5a0fe4c742e268238a06abe76e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.896ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{*}}" loading="lazy"> ist. Dieses System ist tatsächlich ein Frame mit Konstanten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<{\tfrac {1}{B}}\leq {\tfrac {1}{A}}<\infty }">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<{\tfrac {1}{B}}\leq {\tfrac {1}{A}}<\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98fc769437c3a7046c5297c773724195b1f6cc81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:16.934ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle 0<{\tfrac {1}{B}}\leq {\tfrac {1}{A}}<\infty }" loading="lazy">, er ist dual in dem Sinne, dass die Identität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=({\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{-})(v)}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=({\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{-})(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9d58bb68b0a570b678a9cd67768880aa9a04554.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.325ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle v=({\mathcal {E}}\circ {\mathcal {E}}^{-})(v)}" loading="lazy"> entwickelt werden kann zu

</mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=\sum _{x\in X}\langle x,Rv\rangle \,x=\sum _{x\in X}\langle Rx,v\rangle \,x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2bc43b02034d6360f3520b341ef57efb3c050b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:31.76ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle v=\sum _{x\in X}\langle x,Rv\rangle \,x=\sum _{x\in X}\langle Rx,v\rangle \,x}" loading="lazy">,</dd></dl>

d. h. die Skalarprodukte mit den Vektoren des dualen Frames ergeben die Komponenten des kleinsten Koeffizientenvektors zu v.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Parseval-Frame">Parseval-Frame</h4></div>

Ein straffer Frame X, dessen Framekonstanten beide gleich 1 sind, wird Parsevalframe genannt, da in ihm die <a href="Parsevalsche_Gleichung" title="Parsevalsche Gleichung">Parsevalsche Gleichung</a>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall v\in {\mathcal {H}}:\;\|v\|^{2}=\sum _{x\in X}|\langle v,x\rangle |^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/372a90651df260c690f09933f575a1bde1f19347.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:28.884ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \forall v\in {\mathcal {H}}:\;\|v\|^{2}=\sum _{x\in X}|\langle v,x\rangle |^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

gilt. Dies ist äquivalent dazu, dass X sein eigener dualer Frame ist, d. h. jeder Vektor kann entwickelt werden als

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=\sum _{x\in X}\langle x,v\rangle \,x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/213616c36ce2a36842d5a9d5693951e10fdcd6f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:14.68ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle v=\sum _{x\in X}\langle x,v\rangle \,x}" loading="lazy">.</dd></dl>

Es gilt der Satz: Sind die Vektoren eines Parsevalframes X allesamt Einheitsvektoren, so ist X schon eine Hilbertbasis.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Für_Rieszbasen">Für Rieszbasen</h3></div>

In einer Rieszbasis stimmen die Konstanten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<A\leq B<\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<A\leq B<\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc69fe4db5fff2df0f45ded187038cc8a7aadb8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:16.289ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0<A\leq B<\infty }" loading="lazy"> der Ungleichung aus der Definition des Rieszsystems mit den Framekonstanten überein und der pseudoinverse Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b58205356ff0f1ce2e8ab53fb38829b9acd8b11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.847ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}^{-}}" loading="lazy"> ist tatsächlich schon der inverse Operator zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}" loading="lazy">.

Gilt zusätzlich noch A=B=1, so ist X schon ein vollständiges <a href="Orthonormalsystem" class="mw-redirect" title="Orthonormalsystem">Orthonormalsystem</a>, d. h. eine Hilbert-Basis. In diesem Fall gilt sowohl die <a href="Parsevalsche_Gleichung" title="Parsevalsche Gleichung">Parsevalsche Gleichung</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall v\in H:\;\|v\|^{2}=\sum _{x\in X}|\langle v,x\rangle |^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cb62b13e1842c8fc072dd6916e668a7c491c3ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:28.984ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \forall v\in H:\;\|v\|^{2}=\sum _{x\in X}|\langle v,x\rangle |^{2}}" loading="lazy">,</dd></dl>

was äquivalent zu

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall v\in H:\;v=\sum _{x\in X}\langle v,x\rangle \,x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc2fa8f93bafe8107a4d05a76db36de8c4612732.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:24.587ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \forall v\in H:\;v=\sum _{x\in X}\langle v,x\rangle \,x}" loading="lazy"></dd></dl>

ist; als auch

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall c\in \ell _{2}(X)\;\forall y\in X:\;c_{y}=\langle \sum _{x\in X}c_{x}\,x,y\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d230edab98641c982801e89c8a8688aae5fad87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:38.323ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \forall c\in \ell _{2}(X)\;\forall y\in X:\;c_{y}=\langle \sum _{x\in X}c_{x}\,x,y\rangle }" loading="lazy">,</dd></dl>

äquivalent zu

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall c\in \ell _{2}(X):\;\|c\|=\|\sum _{x\in X}c_{x}\,x\|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30c6b955b21e9938a546e35bdb94cb1cedb8dad1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:30.398ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \forall c\in \ell _{2}(X):\;\|c\|=\|\sum _{x\in X}c_{x}\,x\|}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li>Otto Forster, Joachim Wehler: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~forster/vorlA0w_wav.html">Skript zur Vorlesung: Fourier-Transformation und Wavelets (nicht mehr verfügbar)</a>. LMU München 2000/01, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20070709200926/http://www.pst.informatik.uni-muenchen.de/personen/wehler/wavelets10.PDF">Skript zur Vorlesung: Fourier-Transformation und Wavelets</a>, archive.org</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-07-28" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Hilbertraumbasis&oldid=258373890">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

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</main>

</div>

</body></html>